Rodil se je v Ljubljani. Na ALU v Ljubljani je študiral slikarstvo, diplomiral pa je leta 1950. Študij je nadaljeval na specialki za slikarstvo pri profesorju Gabrijelu Stupici. Izpopolnjeval se je na študijskih potovanjih v Amsterdamu in Parizu, kjer je v letih 1958 in 1959 tri mesece delal v ateljeju grafika J. Friedlaenderja. Na Akademiji za likovno umetnost v Ljubljani je poučeval od leta 1969 naprej, od leta 1979 kot redni profesor za grafiko. Predaval je tudi v Belgiji, na akademiji v Monsu. Njegova grafična dela v svojih zbirkah hranijo mnogi svetovni muzeji, med drugim tudi dunajska Albertina. V Galeriji Božidar Jakac v Kostanjevici na Krki je urejen poseben Grafični kabinet Bogdana Borčića z več kot 1000 grafikami, z njegovimi znamenitimi motivi školjk in serijami različnih klasičnih tehnik. Nagrado Prešernovega sklada je prejel leta 1965 za slikarske stvaritve, razstavljene v letu 1964, Prešernovo nagrado za življenjsko delo pa leta 2005. V poznem obdobju se je ukvarjal z žarečimi slikami z velikimi barvnimi ploskvami. Leta 2014 je serijo slik posvetil taborišču Dachau (In principio erat Dachau), v katerih je poustvaril vrata krematorija in celic. Zadnjo serijo slik, ki je bila aprila 2014 razstavljena v Ajdovščini, je zaznamoval s kadilsko pipo. Umrl je leta 2014 v Slovenj Gradcu.